实数连续性循环证明及相互证明(9)

实数连续性循环证明及相互证明

依次取N1=1， n1

N1，使xn1-x1

0， 0，

0。

0

k

N2=n1， n2 n1，使xn-xn

21

，Nk=nk 1， nk Nk，使xn-xn

kk 1把它们相加，得到xn-x1

k

k 0 G， k G x1，有xn G，与{xn}有界矛盾，故{xn}

必有极限。定理证完。

2．柯西收敛定理 紧致性定理

证明：设数集A非空有上界， b1是A的上界，a1不是A的上界，a1 b1，用a1，b1的中点a1 b1二

2等分[a1，b1]，如果a1 b1是A的上界，则取[a2，b2]=[a1a1 b1]；如果a1 b1不是A的上

，

222界，则取[a2，b2]=[a1 b1，b1]；用a2，b2的中点a2 b2二等分[a2，b2] 如此继续下去，22得数列{ an}，{bn}满足 n， an不是A的上界，bn是A的上界且lim（bn an）=0。

n

下证{ an}是柯西列。 lim（bn an）=0，即 0， N，当n

n

N，有|bn an| 。

又an

an 1 bn 1 bn，从而 p Z，|an p an| （bn an） ，故{ an}是柯西列

从而收敛，设lim

n

an=r。

最后证r=supA。 n， an不是A的上界， 当n

a A,使an a。由liman=r，则

n

0， N，

N，有r an a r。

0， N，当n N，有r a r，故r=supA。

定理证完。

下证r是唯一的。即 唯一的r，使 n，an

r bn。如果不然，若有r,r 满足r [an,bn]，

n 1

r [an,bn]，则|r r | bn an 0(n )，故r r 。即这样的r是唯一的。

n 1

定理证完。

（三）证明过程中的几点发现

黑格尔曾说：“证明是数学的灵魂。”数学是研究结构的。通常情况下，如果它受什么条件制约的话，则必有什么性质。假如具备什么条件的话，则必然有什么结果。在实数基本定理的等价证明之中，我们深深体会到这一点。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不