实数连续性循环证明及相互证明(11)

实数连续性循环证明及相互证明

①数列{an}有无穷多项具有性质M，将它们按下标的顺序排列，记为an，an an，

1

2

k

满足n1 n2 nk ，那么我们就已经得到一个单调下降的子列{an}。

k②数列{an}只有有穷多项具有性质M，那么 N，当n

N，有an不具有性质M，即

i n ，有an ai，从中任取一项记为an

1

，因为它不具有性质M， ∴ n2 n1，

使an an， ，如此继续下去，我们得到一子列{an}单调上升， ∴ 有界数列{an}

12k必有单调子数列，由单调有界定理，可得{an}存在极限。

k

⑵区间套定理→柯西收敛定理

证法一：见上一部分的论述，即（二）.一.2⑴，用二分法。 证法二：基本列{xn}有界（见紧致性定理→柯西收敛定理）

∴ a1,b1，使 n，有 a1 xn b1，将区间[a1，b1]三等分，令c 2a1 b1，

1

2c2

a1 2b1，得到三个长度相同的子区间[a，c]，[c，c]，[c，b]，

111122

2

分别记为J1，J2，J3，根据它们在实数轴上的左中右位置和基本列定义，J1，J3，至少有一区间只含有数列{xn}的有限多项。如果不然，在J1，J3均有数列的无限多项，那么 b a，取

3

xn J1

，

xm J3

，n，m可以任意大，满足

|xn-xm| b a，与基本列定义矛盾，∴结论成立。

3

∴可以从[a1，b1]中去掉只含有{xn}中有限多项的区间J1或J3，将得到区间[a2，

b2]，重复这个过程，得到区间套{[an，bn]}，该区间套具有以下两个性质： ① 闭区间套中的每个区间的长度是前一个区间长度的

23

。

② 每一个[an，bn]中含有数列{xn}从某项后的所有项。 由①所得， 唯一的实数r，使liman=limbn= r。

n

n

∵ 0， N使得[aN，bN] （r ，r ）， 由②可得 N，当n＞N，有|xn-r| ， lim

n

xn=r。定理证完。

两种证法分别采用的是区间套的两种构造方法：

二分法具有bn 1-an 1=

bn an

2

，这就保证了点r唯一，而对有界数列{xn}，更构造了