相似三角形经典练习题(附答案)(12)

相似三角形经典练习题(附答案)

的平行线交AC于P，交AB于Q．

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；

（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

考点： 相似三角形的判定；菱形的判定。菁优网版权所有

专题： 综合题。

分析： （1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；

（2）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；

（3）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形．

解答： 解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，

∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠PMC=∠QMB．

∴BQ=QM，PM=PC．

∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．

（2）∵PM∥AB，

∴△PCM∽△ACB，

∵QM∥AC，

∴△BMQ∽△BCA；

（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，

∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，

∴QM，PM是三角形ABC的中位线．

∵AB=AC，

∴QM=PM= AB= AC．

又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，

∴平行四边形APMQ是菱形．

点评： 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用．

12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

考点： 相似三角形的判定；正方形的性质。菁优网版权所有

专题： 证明题。

分析： 欲证△ADM∽△MCP，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠D=∠C，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可．

解答： 证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，

∴CM=MD= AD．