相似三角形经典练习题(附答案)(14)

相似三角形经典练习题(附答案)

解答： 解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，

∵AD∥BH，DH∥AB，

∴四边形ABHD是平行四边形．

∴DH=AB=8；BH=AD=2．

∴CH=8﹣2=6．

∵CD=10，

∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．

∠B=∠DHC=90°．

∴梯形ABCD是直角梯形．

∴SABCD= （AD+BC）AB= ×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=t，

∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，

∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，

∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．

∴t=3＜8．

∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．

②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C

∴tan∠ADP=tan∠C= =

∴ = ，∴t=

若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C

∴tan∠APD=tan∠C= = ，∴ =

∴t=

第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；

第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；

∴t= 或t= 时，△PAD与△CQE相似．

③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．

∵AP=8﹣t，AD=2，

∴PD= = ．

∵CE= t，QE= t，

∴QH=BE=8﹣ t，BH=QE= t．

∴PH=t﹣ t= t．

∴PQ= = ，DQ=10﹣t．

Ⅰ：DQ=DP，10﹣t= ，

解得t=8秒．

Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t= ，

化简得：3t2﹣52t+180=0

解得：t= ，t= ＞8（不合题意舍去）

∴t=

第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．

∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．

第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．

∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．