相似三角形经典练习题(附答案)(8)

相似三角形经典练习题(附答案)

（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．

（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN=∠BAM，所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC=∠DAE，所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）．

解答： （1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，

∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABE≌△ACD，

∴BE=CD．

②由△ABE≌△ACD，得

∠ABE=∠ACD，BE=CD，

∵M、N分别是BE，CD的中点，

∴BM=CN．

又∵AB=AC，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．

（3）证明：在图②中正确画出线段PD，

由（1）同理可证△ABM≌△ACN，

∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．

又∵∠BAC=∠DAE，

∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．

∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．

∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，

∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，

∴△PBD∽△AMN．

点评： 本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

考点： 相似三角形的判定；平行四边形的性质。菁优网版权所有

专题： 开放型。

分析： 根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．

解答： 解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分） 如：△AEF∽△BEC．

在?ABCD中，AD∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）

∴△AEF∽△BEC．（7分）