上海交大、复旦、同济大学保送生数学试题(10)

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2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知x,y R ，x+2y＝1，则

22

的最小值是______________． xy

4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．

5．已知f(x) ax7+bx5+x2+2x 1，f(2) 8，则f( 2) _______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7___________．

10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{an}的a1 1，a2 3，3an+2 2an+1+an，求an和limn

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x1000+x999(x+1)+…+(x+1)50的系数．

12k

14．化简：(1) 1 n n!； (2) Cn 1 Cn 2 Cn k．

a3 2a

15．求证：4为最简分式． 2

a 3a 1

16．证明不等式() n! ()，当自然数n≥6时成立．

n2

n

n3

n