数学立体几何主题教研“课堂教学有效性”记(2)

问题 平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小不确定，请问最大的角为多少，最小的呢？

学生活动

（1）问题 平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小不确定，请问最大的角为多少，最小的呢？

学生 由异面直线所成角的定义可知，探讨平面的斜线AO与平面内任意直线l所成角的大小，只需探讨斜线AO与平面过点A的直线所成的角的大小，利用实物演示可知，最大角为900，当且仅当平面内直线与AO在平面内的射影垂直；最小角为斜线AO与它在平面内的射影所成的角。

（2）问题 如何定量地分析斜线AO与它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角？

学生 如图1所示，可以利用，可得； 或者利用等式，也得.

这个问题可归纳为最小角定理：

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。

构建数学 问题 类比异面直线所成的角的定义，如何定义直线与平面所成的角？ 归纳 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。斜线和平面所成角的范围是（00，900）.

特例 若直线和平面垂直，则直线与平面所成的角是直角；若直线和平面平行或在平面内，则直线与平面所成角为0(的角。直线和平面所成角范围为(00，900 (。

数学运用 例1 如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，

为垂足，为内的一条直线，，，求斜线和平面所成角。

变式 直线两两夹角都是600，，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 。 （提示：利用课本P25习题9.4的习题6的结论）

小结 利用等式可求线面角。

例2 如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角．