数学立体几何主题教研“课堂教学有效性”记(7)

又φ1，θ∈(0,)，而y=sinx在(0,)上为增函数 ∴φ1<θ。

研究四：应该如何定义斜线和平面所成的角呢？

定义成研究二中的最小值还是最大值？

结论3：定义成研究二中的最小值。

理由：若定义成最大值，则每一条直线与平面所成的角都是90°，无法区别这些斜线的位置关系。故定义研究二中的最小值。

至此，我们得到了斜线与平面所成角的定义：

一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

特例：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么说直线和平面所成的角是0°的角。

结论4：斜线与平面所成的角的范围是(0,)；直线与平面所成的角的范围是[0,]； 研究五：在上图中，三个角θ、φ1、φ2的余弦有一个非常简单的关系，

cosθ=cosφ1cosφ2，请大家给予证明。

在Rt△APO中，cosφ1=AO/AP；在Rt△ABP中，cosθ=AB/AP；

在Rt△ABO中，cosφ2=AB/AO，所以cosθ=cosφ1cosφ2。

分析公式：cosθ=cosφ1cosφ2

在此公式中，θ表示斜线和平面内任意一条直线所成的角，φ1表示斜线和平面所成的角，φ2表示斜线在平面内的射影和平面内任意一条直线所成的角。

例题讲解：

例1、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角

解：略

例2、如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角