数学立体几何主题教研“课堂教学有效性”记(6)

教学要点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角

教学过程： 一、复习引入：

直线和平面的位置关系： 找（或作）线在平面内的射影

新课讲解 前面我们主要研究了线面关系中的线面平行和线面垂直，这两者的证明都转化为线和平面内的直线的关系要证明，要证线面平行只需证线平行于平面内的一条线；要证线面垂直只要证线垂直于平面内的两条相交线，今天我们来研究线面相交的一般情况，即斜线与平面。首先我们来思考一下如何来衡量斜线与平面的位置关系（演示模具，让学生进行观察）。

结论：用线和平面所成的角来衡量，根据线面关系可以转化为线线关系来研究，我们先来研究一下平面的斜线和平面内任意一条直线的夹角。

研究一：平面的斜线和平面内任意一条直线所成的角是否确定。（用几何画板演示，课件演示说明：PA是平面α的斜线，斜足为A，a是平面内的直线，首先引导学生把a平移到过A的位置，转动斜线，为了容易观察，在此过程中可引导学生过斜线上的一点作a的垂线，垂足为B。

结论1：平面的斜线和平面内任意一条直线所成的角是不确定的。

在数学中，当某个量不确定时，经常考虑它的最大值或最小值，于是得到以下的问题： 研究二：研究一中的角是否存在最大值或最小值？（用几何画板演示）

课件演示说明：转动斜线，让学生观察角的变化情况。

结论2：研究一中的角最大值是90°，最小值是当a和PA在平面的射影重合时： 研究三：证明最小角定理：平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。（引导学生过P点作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，BO）记∠PAB为θ，∠PAO为φ1，∠OAB为φ2)

∵PO⊥α， ∴AO为PA在平面α内的射影

∵PB⊥AB， ∴OB⊥AB

在Rt△APO中，sinφ1=PO/AP；在Rt△ABP中，sinθ=PB/AP；

在Rt△ABO中，PO