质量管理学 第二章 常用的质量管理方法(7)

中国计量学院产品质量工程专业课程——质量管理学(共8章)

有效性。不过，由于根据下列中心极限定理，常常可以认为这种近似的正态性假定是合理的。

中心极限定理：若χ1，χ2， ，χn为n个独立的随机变量，其均值分别为µ1，µ2， ，µn，方差分别

n

为

,1

22

, , 2

2n

y

，且

x

i 1

i

，则当n趋于无穷大时

n

n

（y

i 1

i）/

i 1

2i

的分布趋于标准正态分布N（0，1）。

中心极限定理表示n个独立分布的随机变量之和的分布近似服从正态分布。而不管个别变量的分布如何。当变量个数n增加时，这种近似程度也增加。一般地，若χi为同分布，且每一χi的分布与正态分布相差不大时，即使 n≥4，中心极限定理也能保证相当好的近似正态性。这点在质量管理中十分重要。

五、一些有用的近似公式

在某些质量管理问题里，应用一种概率分布去近似另一种概率分布有时是有用的。特别是，当原分布难于进行解析计算或无表可查时尤其如此。下面讨论几种近似：概率分布、二项分布的泊松近似、二项分布的正态近似和泊松分布的正态近似。

二项分布的泊松近似：在概率论中我们已经知道，当参数P趋近于零，n趋近于无穷大且nP=λ为常数时，泊松分布可由二项分布的极限形式得到。这就意味着，对于小P和大n的情况，具有参数nP=λ的泊松分布可用来近似二项分布。当P<0.1，则对于大的n，这种近似通常是良好的。n越大，P越小，则近似程度也越好。

二项分布的正态近似：我们定义的二项分布为n次独立试验序列的和，每次试验成功的概率为P。若试验次数n大，则由中心极限定理，可用均值为nP和方差nP（1-P）的正态分布来近似二项分布。即

P{x c}

C

c

（1 P）nP

c

n c

e

2 nP（1 P）

1

1c nP） []2nP（1 P）

2

由于二项分布是离散的而正态分布是连续的，故用正态分布近似二项分布时通常需采用连续性校正，即

11

c nP c nP

22 P{x c}

nP（1 P） nP（1 P）

其它情况也类似地加以处理，例如

11 b nP a nP

22 P{a x b}

nP（1 P） nP（1 P）

当P近似等于1/2且n>10时，用正态分布近似二项分布是令人满意的。对于其它数值的P则需要n更大才行。一般地，若P < 1 / (1+n)或P > n / (1+n)，或者当随机变量的值落在nP 3nP（1 P）区间以外时，这时的近似程度都是不够的。