2012年高考文科数学试题分类汇编--数列(7)

（2）设bn 1

2

bn

，n N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an

【答案】解：（1）∵bn 1

1

bn，∴an 1 an

b

∴ n 1

an 12 bn 1 bn bn ∴ 1 n N* 。

an 1 an an

2

2

2

bn

∴数列 是以1 为公差的等差数列。

a n

2

（2）∵an>0，bn>0，∴

an bn

2

2

an2 bn2< an bn 。

2

∴1<an 1

设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1

若q>

1,则a1=

a<a2

n>logq时，an 1 a1qn q

1

a21

>a2>1，∴当n>logq时，an 1 a1qn<1，与（﹡）矛盾。 qa1

若0<q<1,则a1=

∴综上所述，q=1。∴an a1 n

N* ，∴1<a1

又∵bn 1 bn bn n N* ，∴{b

n}an111，于是b1<b2<b3。 1

若a1

又由an

1

an bnan bn

2

2

即a1

，得bna1 1

。

∴b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1<b2<b

3矛盾。∴a1

∴

bn

1

∴ a1=b2

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设an 1

2

2

an bnan bn

2

2

和bn 1

bb

1 n，求出n 1 an 1an b b

而证明 n 1

n 1而得证。

an 1 an

（2）根据基本不等式得到1<an 1 的公比

q=1。

从而得到an a1 n N*

的结论，再由bn 1 数列。最后用反证法求出a1=b2

20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数 0，且 a1an S1 Sn对一切正整数n都成立。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

{an}

bn

bn

知{bn}an11

（Ⅱ）设a1 0， 100，当n为何值时，数列{lg[解析]取n=1,得 a1 2s1 2a1,a1( a1 2) 0

1

的前n项和最大？ an

若a1=0,则s1=0, 当n 2时，an sn sn 1 0,所以an 0 若a1 0，则a1

2

2an , 当n 2时，

2

sn,2an 1

2

sn 1,

上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上，若a1 = 0, 则an 0