初中数学矩形、菱形、正方形(7)

量关系： ；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长． （可利用（2）得到的结论）

解：（1）如图①AH=AB

（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN ∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD

第1题图

∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM

∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB=AH

（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 得到△ABM和△AND

图①

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x，则MC=x 2, NC=x 3 图②

在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得

MN2

MC2 NC2∴5 (x 2) (x 3)

解得x1 6,x2 1.（不符合题意，舍去） ∴AH=6.

2

2

2

3（2012年浙江金华五模）矩形纸片ABCD中，AD 12cm式折叠，AE是折痕．

（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；

（2）如图2，DP （3）如图3，DP

11

AD,CQ BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长； 3311

AD,CQ BC，点D的对应点F在PQ上． nn

①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）； ②当n越来越大时，AE的长越来越接近于 ▲ ．

D

C

DPA

F

CDPA

F

C

QQ

PA

F

(第23题图1)

Q

B

(第23题图2)

BB

(第23题图3)

答案：

（1） PQ是矩形ABCD中AD,BC的中点，

AP

11

AD AF, APF 90 ， 22

DPA

C

Q

AFP 30 ， PF 3 AP 63

FAD 60 ， DAE

1

FAD 30 ， 2

B

AE

AD

83cm （3分）

cos30

12

AD 4， AP AD 8 33

（2） DP

FP 2 82 45

DEG

C