10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)(16)

方法1 由于

un

limn n u n 1

1 1 ln 1

1 n ln 1 lnn 2 1n limn 2 1 lim， 1 limn 1 n 1n n 1 ln(n 1)

n 2

该极限为

型极限，由L＇hospital法则得 0

2

1 ln 1 n

lim

1

2 lim

n

1 ln 1 n

ln2

n

1n

1 1 2 1 1n ln2 1， 1 2n

由Raabe判别法知，原级数发散．

方法2 由于2

lnn

e

lnn

n，所以

12lnn

11

，而级数 发散，由比较判别法知，原nn 1n

级数

2

n 1

1

lnn

发散.

) ln(1 1 un

3n 1 ln3 1，由Raabe判别法 1 limn．由于limn n n u n 1

（4）

3

n 1

1

lnn

知，原级数收敛．

一般地，对

a

n 1

1

lnn

(a 0)，当0 a e时，对一切n N，alnn elnn n成立，

所以

1alnn

un 11

1 lna 1，由Raabe ，从而 lnn发散；当a e时，由于limn n nn 1a un 1

判别法知，级数

a

n 11

lnn

收敛．

（5）

3

n 1

1

．由于lim

nn2

，所以存在N 0，当n N时，有 ，

n lnnlnnln3

即nln3 2lnn，从而3 n，故

2

13

n

111

2，而 2收敛，故 n收敛． nn 1nn 13

（6）

3

n 1

n

n

．由于lim

nn3

，所以存在N 0，当n N时，有 ，

n lnnlnnln3

n

即nln3 3lnn，从而3 n，故

3

n3

11n

2，而 2收敛，故 收敛． nn 1nn 13