10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)(20)

调下降．

x11

当p 1时，由于lim dt lim dlnt lim(ln(lnx) ln(ln2)) ，因

x 2tlntx 2lntx

x

而原级数发散．

当p 1时，由于

lim f(t)dt lim

x

2

x

x

x1 p

dt lim(lnt)dlnt

2t(lnt)px 2x

lim

1

(lnx)1 p (ln2)1 p

x 1 p

,

(ln2)1 p

,

p 1

p 1,p 1.

因而由柯西积分判别法知，当p 1时级数发散，当p 1时级数收敛．

综上可知，级数

1

在p 1时收敛，在p 1时发散． p

n(lnn)n 2

（2）

11

u．根据级数通项，可令函数，则f(x) n

x lnx lnlnxn 2n lnn lnlnn

un f(n),(n 2)且f(x)在[2, )非负、连续且单调下降，由于

lim

x

x2

x11

f(t)dt lim dlnt lim dlnlnt

x 2lntlnlntx 2lnlnt

x

lim lnlnlnx lnlnln2 .

x

由柯西积分判别法知，原级数发散．

（3）

n(lnn)

n 2

1

1

lnlnn

( 0)．由于limlnlnn ，故当n充分大时，

n

lnlnn 1，因而

数收敛．

（4）

1n(lnn)1

11

，由（1）知收敛，从而原级 1 1

nn)lnlnnn(lnn)n 2n(l

1

． pq

n(lnn)(lnlnn)n 2

当p 1时，由于

2

11

dx 2(lnlnx)qdln(lnx)，故q 1时级数收xlnx(lnlnx)q