10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)(5)

1 2

122

1 n 1 1

2 2n

. n 1

121 2

2n 1 2n1

从而limSn 2，即limSn 4，因此原级数 n 1 4 1 3． nn n 22n 1n 12

n

（5）由于级数的部分和Sn

n

r

k 1

k

sinkx，故

n

2rcosxSn 2r

k 1n

k 1

sinkxcosx rk 1 sin(k 1)x sin(k 1)x

k 1n

r

k 1n 1

k 1

sin(k 1)x rk 1sin(k 1)x

k 1

2

rsinkx r

kk 2

r

k 0

n 1

k

sinkx

(Sn rn 1sin(n 1)x rsinx) r2(Sn rnsinnx)，

从中解得

rsinx rn 2sinnx rn 1sin(n 1)x

Sn .

1 r2 2rcosx

又由于当n 时，r

n 2

sinnx rn 2 0,rn 1sin(n 1)x rn 1 0，故

limSn

n

rsinx

， 2

1 r 2rcosx

因此

rnsinnx

n 1

rsinx

．

1 r2 2rcosx

（6）级数的部分和Sn

n

r

k 1

n

k

coskx，从而

n

2rcosxSn 2r

k 1n

k 1

coskxcosx rk 1 cos(k 1)x cos(k 1)x

k 1n

r

k 1n 1

k 1

cos(k 1)x rk 1cos(k 1)x

k 1

2

rcoskx r

kk 2

r

k 0

n 1

k

coskx