10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)(21)

敛，q 1时级数发散．

当p 1时，令p 1 2 ( 0)，则

un

11

， pq1 q

n(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnn)(lnlnn)

q q

由于lim(lnn)(lnlnn) ，故存在N 0，任意n N时，(lnn)(lnlnn) 1，

n

11

从而un ，而由（1）知收敛，从而原级数收敛． 1

n(lnn)n(lnn)1 n 1

当p 1时，令p 1 2 ( 0)，则

1(lnn)

un ， pq1 q

n(lnn)(lnlnn)n(lnn)(lnlnn)

(lnn) (lnn) 1

1u 由于，从而当充分大时，，从而，而由nn

(lnlnn)q(lnlnn)qn(lnn)1

（1）知

1

发散，因此原级数发散． 1

n 1n(lnn)

1

的收敛情况是：当p 1或p 1,q 1时收 pq

n(lnn)(ln(lnn))n 2

综上可知，原级数

敛，当p 1或p 1,q 1时发散．

6．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性．

(2n 1)!!

（1） (p是实数)；

(2n)!!n 1

p

（2）

n 1

( 1) ( n 1)1

n!

p

n

( 0, 0)．

p

(2n 1)!! (2n 1)!!

u 解（1）级数 的通项n (2n)!! ，因而根据二项展开式得

(2n)!!n 1

(2n 1)!!(2n 2)!! p un

limn 1 n (2n)!! (2n 1)!! 1 limn un

n 1

2n 2 p npp

limn 1 lim(2n 2) (2n 1) pn n (2n 1) 2n 1