10 数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)(17)

lnn11lnn

（7） p（p是任意实数）．由于当n 3时，p p，所以若 p发散，

nnn 1nn 1n

1lnn

则原级数必发散，而p 1时 p发散，因而p 1时，原级数 p发散．

n 1nn 1n

当p 1时，由于

x

1

xxlnt11lnx111 p p 1

， lnt tdt lntdt 1

1 p 11 pxp 1(1 p)2xp 1(1 p)2tp

lnxlnt1

，利用柯西积分判别法知，原级数收敛． pp2 1tx(1 p)

因而lim

x 1

x

1111

（8） p（p是任意实数）．当p 1时，由于p p且 p收敛，

nlnnnn 2nlnnn 2n

故原级数收敛；当p 1时，由于

x11

2tlnt 2lntlnt ln(lnx) ln(ln2)，

x1 1

因而lim ，由柯西积分判别法知，原级数发散；当p 1时，

2x 2tlntxlnx

x

111

由于p，而 就是前面p 1时的级数，已证得它发散，因而原级数

nlnnnlnnnlnnn 2

发散．

4．利用Taylor公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性：

1 n

（1） e 1 ；

n 1 n

p

1 （2） ln；

cosn n 3

p

（3）

(n 1 n)pln

n 1

n 1

； n 1

（4）

(

n 1

n a n2 n b)．

p

x

1 n 1 1

解（1） e 1 ．令f(x) 1 ，则lnf(x) xln 1 ，从而

x x n 1 n