导数概念及应用详讲(15)

高考 倒数概念的详细讲解

综上，

的取值范围是

8.（理）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

a－1

令g′(x)＝0，解得x＝e－1， ……5分

(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，

又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分

a－1a－1

(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e－1)是减函数，

a－1

又g(0)＝0，所以对0＜x＜e－1，都有g(x)＜g(0)，

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，

于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分

对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a

a－1

令g′(x)＝0，解得x＝e－1， ……6分

a－1

当x＞ e－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，

a－1

当－1＜x＜e－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分

a－1

所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e－1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．