通项公式与数列求和全(12)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

22

an [3 3()n 1](b a) a 3(a b)()n 1 3b 2a。

33

解法二（特征根法）：数列 an ：3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)， a1 a,a2 b的特征方程是：

3x2 5x 2 0。 x1 1,x2

22n 1n 1

A B ()n 1。 , an Ax1 Bx2

33

a A B

A 3b 2a2n 1

又由a1 a,a2 b，于是 故an 3b 2a 3(a b)() 2

3b A B B 3(a b) 3

3、如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于n N，都有an 1

pan q

（其中p、q、r、h均为常数，

ran h

且ph qr,r 0,a1

1 hpx q

），那么，可作特征方程x ,当特征方程有且仅有一根x0时,则 是等差rrx h an x0

an x1

是等比数列。

a x n2

数列;当特征方程有两个相异的根 1、 2时，则 例2 7、(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分）

数列{an}满足a1 1且8an 1an 16an 1 2an 5 0(n 1).求数列{an}的通项公式. 解：由已知，得an 1

2x 5152an 5

，其特征方程为x ，解之，得x 或x

16 8x2416 8an

15

6(an )12(an )1， a 5 an 1 n 1216 8an416 8an

1111

an an a1

2n 1 51n 141， 。 P26 (styyj) () n an n

5255522 42an 1 an an a1

4444an 1

例28、已知数列{an}满足性质：对于n N,an 1 解: 数列{an}的特征方程为x

an 4

,且a1 3,求{an}的通项公式.

2an 3

x 4

,变形得2x2 2x 4 0,其根为 1 1, 2 2.故特征方程有两个相异2x 3

的根，使用定理2的第（2）部分，则有

cn

a1 1p 1rn 13 11 1 2n 121

() (),n N. ∴cn ( )n 1,n N.

55a1 2p 2r3 21 2 2