通项公式与数列求和全(4)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

解由an

3 an 11

，n 2，3，4，…， 整理得 an 1 (an 1 1)． 22

n 1

又a1 1 0，所以{an 1}是首项为

1 1

a1 1，公比为 的等比数列，得 an 1 (a1 1)

2 2

构造2：an 1 pan f n 解法：只需构造数列 bn ，消去f n 带来的差异． 例13．设数列 an ：a1 4,an 3an 1 2n 1,(n 2)，求an.

解：设bn an An B，则an bn An B，将an,an 1代入递推式，得

bn An B 3 bn 1 A(n 1) B 2n 1 3bn 1 (3A 2)n (3B 3A 1)

A 3A 2

B 3B 3A 1

A 1

B 1

取bn an n 1 （１）则bn 3bn 1,又b1 6，故bn 6 3n 1 2 3n代入（１）得

an 2 3n n 1

说明：（1）若f(n)为n的二次式，则可设bn an An2 Bn C;(2)本题也可由

an 3an 1 2n 1 ,an 1 3an 2 2(n 1) 1（n 3）两式相减得an an 1 3(an 1 an 2) 2转化为bn pbn 1 q求之.

例14、(天津文)在数列 an 中，a1 2，an 1 4an 3n 1，n N．求数列 an 的通项公式；

*

解：由题设an 1 4an 3n 1，得an 1 (n 1) 4(an n)，n N． 又a1 1 1，所以数列 an n 是首项为1，且公比为4的等比数列． 可知an n 4

n 1

*

，于是数列 an 的通项公式为an 4

n 1

n．

练习：1.（2006重庆）已知数列 an 满足an 2an 1 3且a1 1，求数列 an 的通项公式。

n 1

2. (2009湖北卷理)已知数列 an 的前n项和Sn an () 2（n为正整数）,求数列 an 的通项公式；

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