通项公式与数列求和全(15)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

例34．已知数列{an}满足：对于n N,都有an 1

13an 25

.

an 3

（1）若a1 5,求an;（2）若a1 3,求an;（3）若a1 6,求an; （4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？

13x 25

.变形得x2 10x 25 0,

x 3

特征方程有两个相同的特征根 5.依定理2的第（1）部分解答.

解：作特征方程x

(1)∵a1 5, a1 . 对于n N,都有an 5; (2)∵a1 3, a1 . ∴bn

111n 11r

(n 1) , (n 1)

13 1 528a1 p r 3 5

令bn 0，得n 5.故数列{an}从第5项开始都不存在， 当n≤4，n N时，an

15n 17.

bnn 5

(3)∵a1 6, 5,∴a1 . ∴bn

1rn 1

(n 1) 1 ,n N.

a1 p r8

1

bn

15n 43

5 ,n N. n 1n 71

8

令bn 0,则n 7 n.∴对于n N,bn 0. ∴an

(4)、显然当a1 3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，a1 5时，数列{an}是存在的，当a1 5时，则有bn

1r1n 1

(n 1) ,n N.令bn 0,则得

a1 p ra1 58

5n 13

,n N且n≥2. n 1

5n 13

∴当a1 （其中n N且N≥2）时，数列{an}从第n项开始便不存在.

n 1

5n 13

:n N,且n≥2}上取值时，无穷数列{an}都不存在. 于是知：当a1在集合{ 3或

n 1a1

十．数学归纳法：直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，观察前几项，猜想出通项公式，然后用