通项公式与数列求和全(3)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

例8：在数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an 1=n·an，求an的表达式. 答案例9： 已知数列 an 中，a1 答案：an

an

1 n

1

，前n项和Sn与an的关系是 Sn n(2n 1)an ，试求通项公式an. . 3

1

.

(2n 1(2n 1)

(n 1)an

,(n N)，求{an}的通项公式。 2

(n N), ① 2Sn 1 nan 1(n 2,n N)，②

例10．已知数列{an}满足a1 1,Sn

解 ∵2Sn (n 1)an

两式相减得2an (n 1)an nan 1于是有

a22 ,a11

a33 ,a22

a44 ,a33

, ∴

,

ann

(n 2,n N) an 1n 1

ann

(n 2,n N) an 1n 1

n n 1 2

以上各式相乘，得an na1 n,练习：1.

(n 2,n N)，又a1=1，∴an= n (n∈N)

已知 an 中，a1 2,an 1 3n an,求通an

答案

a

n

2 3

2. 已知a1 1，an

n 12

an 1，求an。 答案an n 1nn 13、已知an 1 nan n 1,a1 1,求数列{an}的通项公式.

分析：原式化为 an 1 1 n(an 1),若令bn an 1,则问题进一步转化为bn 1 nbn形式，累积得解. 五、构造特殊数列法

构造1：形如an 1 can d,(c 0,其中a1 a)型 （1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数列{an}为等比数列;

（3）若c 1且d 0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

方法如下：设an 1 c(an ),得an 1 can (c 1) ,与题设an 1 can d,比较系数得

d

,(c 0)， c 1

dddd c(an 1 ),即 an 为首项，以c为公比的等比数列. 构成以a1 c 1c 1c 1c 1

所以：an

例11：已知数{an}的递推关系为an 1 2an 1，且a1 1求通项an. 答案：an 2 1

n

1)an 例12(07全国2理)设数列{an}的首项a1 (0，，

3 an 1

，n 2，3，4，…．求{an}的通项公式； 2