通项公式与数列求和全(19)

等差数列与等比数列通项求法,求和方法大全

解析：由题可知，{(2n 1)xn 1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x

设xSn 1x 3x2 5x3 7x4 (2n 1)xn…②

n 1

}的通项之积：

①－②得 (1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1 (2n 1)xn （错位相减）再利用等比数列

1 xn 1(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)n

(2n 1)x.∴ Sn 的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x .

1 x(1 x)2

试一试1：求数列练习： 1、求数列

2462nn 2

,2,3, ,n, 前n项的和. 答案： Sn 4 n 1 22222

2n 1

的前n项和Sn。 n2

1352n 111352n 32n 1 2 3 n ① Sn 2 3 4 n 1 ② n2222222222112222n 1

∴①-②得Sn 2 3 4 n n 1

222222

解析：∵Sn

1 n 1

1 1

1112n 12n 3 2 2n 1 ∴Sn 1 (1 2 n 2) n 1 1 n 1 3 n

12222221 2

2、设等比数列 an 的前n项和为Sn，首项a1 1,公比q f 1,0

1

1

⑴证明：Sn 1 an ⑵若数列 bn 满足b1 ,bn f bn 1 n N,n 2 ，求数列 bn 的通项公式。

2

⑶若 1,记cn an

1

1 ，数列 cn 的前n项和为Tn，求证：当n 2时，2 Tn 4。 bn

1 an

解析：⑴证明：Sn

a1 anq 1 a n

1 q1 1

⑵解：∵f

1

∴bn

bn 111

1 ∴

1 bn 1bnbn 1

1 111

∴ 是首项为 2，公比为1的等差数列 ∴。 2 n 1 n 1 即bn

bn 1bb n 1n

1

⑶证明：∵ 1, ∴an

2

n 1

1 1

∴cn an 1 n

2 bn

n 1