矩阵位移法(17)

矩阵位移法

式中， F2 、 F3 是已知结点荷载； 2 、 3 是待求的结点位移； F1 、 F4 是未知支反力。

由式(9-25)利用矩阵的乘法，则有

F2 K22 F3 K32 和

K

(9-26)

K

23

2

33

3

F1 K12

F 2 K41 K

(9-27)

K

13

2

43

3

由于已考虑了约束条件，此时结构无刚体位移，则方程(9-26)的刚度矩阵是非奇异

的。将由方程(9-26)解出的结点位移值代入方程(9-27)，即得支反力值。

方程(9-26)是结构原始刚度方程(9-25)引入边界条件而得到的，由于它反映了已知结点荷载与未知结点位移的关系，方程(9-26)称为结构刚度方程，其刚度矩阵称为结构刚度矩阵。不难看出，结构刚度矩阵是从结构原始值中删去与已知为零的结点位移向量所对应的行和列而得，它是非奇异的。

上述方法是先不考虑支座位移的限制，在采用自由单元集成结构原始刚度矩阵以后，再引入边界条件，修改结构原始刚度矩阵，使之成为结构刚度矩阵。这一方法称为后处理法。

常用的边界条件处理方法包括如下。

1.“划零置1”法

如果结点位移分量为零，则可从结构原始刚度矩阵中删掉零位移所对应的行和列，直接得结构刚度矩阵。但这样的做法改变矩阵的阶数，对计算机分析仍不方便。实用的处理方法是：将结构原始刚度矩阵 K 中与零位移分量对应的行和列全部元素置零，而主对角元素置1，同时将 F 中的对应元素置零。对于如图9.11所示刚架的原始刚度方程可修改为

0 I 0 0 0 1 F 0KK0 2 22 23 2 (9-28) 0KK0 3233 F3 3

0 0 0 0 0 4

经过这样处理后，刚度矩阵化为非奇异矩阵，且保证了支座位移为零，从而可由式(9-28)求解未知结点位移。此方法称为“划零置1”法，实际上是把边界条件的处理归结为对 K 和 F 的修改，且修改后的 K 阶数不变。

对于不是全部位移分量为零的支座，比如仅竖向位移vi=0，使用“划零置1”法仍然是方便的。

2. 置大数法

如果结点位移分量等于非零的已知值(如支座的沉陷)，则可对该结点位移分量的对应方程进行修改。设结构的结点位移阵列中第i个位移分量 i C，在结构原始刚度矩阵