矩阵位移法(7)

矩阵位移法

cos sin 0 T

0 0 0

sin

cos 0000

0000100cos 0 sin 00

00sin cos 0

0 0 0

(9-16) 0 0 1

称为坐标变换矩阵。可以证明，坐标变换矩阵 T 为一正交矩阵。根据正交矩阵的性质可知，其逆矩阵等于转量矩阵，即

T T T (9-17)

1

同理，可以求得单元杆端位移在两个坐标之间的变换关系，即

T (9-18)

e

e

确定了单元杆端力和杆端位移在两个坐标系之间的变换关系，便可求出单元刚度矩阵

在两个坐标系之间的变换关系：

单元e在局部坐标系中的刚度方程为

将式(9-15)和(9-18)代入上式，则有

T

e

e

e

T F

e

e

T

e

T

e

两边同时左乘 T ，并引入式(9-17)，得

F T

令

e

T

e

e

K T

则单元e在整体坐标中的刚度方程为

e

T

T (9-19)

e

e

e

F K (9-20)

其中，式(9-19)中 K 为整体坐标系的单元刚度矩阵，式(9-19)反映了在两个坐标系之间单

e

元刚度矩阵的变换关系。只要求出单元坐标变换矩阵 T ，就可由局部坐标系的单元刚度矩阵 ，计算出整体坐标系的单元刚度矩阵 K 。

e

e

e

由式(9-19)不难看出，两个坐标系中的单元刚度矩阵 K 和 同阶，且具有相同的

e

性质。

对于平面桁架单元，两个坐标系的杆端力及杆端位移之间的变换关系仍为式(9-15)和式(9-18)所示，即

T F T

e

e

e

e