矩阵位移法(5)

矩阵位移法

2、3、5、6行和列(ie ie je je 0)即得到平面桁架单元刚度矩阵。采用类似的处理方法，由平面刚架单元刚度矩阵，可以得到其他有约束的单元刚度矩阵。

3．单元刚度矩阵的性质

1). 单元刚度矩阵是对称矩阵

单元刚度矩形中位于对角线两边对称位置的两个元素是相等的，即

e

ij eji

根据反力互等定理可得出这一结论。

2). 单元刚度矩阵的奇异性

由于自由单元刚度矩阵的第二行和第五行对应元素反号，则该矩阵的行列式等于零，故自由式单元刚度矩阵是奇异的，它不存在逆矩阵。

，可由式(9-2)确定单元杆端力 ；但若

杆端力 已知时，由式(9-2)却不能惟一确定杆端位移 。这是因为在自由单元的杆

根据这一性质，若已知单元杆端位移e

e

e

e

端位移中，除了由杆端力产生的弹性位移外，还包含有刚体位移，而刚体位移由单元本身是无法确定的。

对于有约束的单元，当约束使单元成为几何不变体时，例如连续梁单元，单元不会产生刚体位移，其单元刚度矩阵是非奇异的。

3). 单元刚度矩阵的分块

单元刚度矩阵可分成4个子矩阵，即

e

ii

e

ji

e

e

e

ij

e

jj

e

式中， 中任一块，它是 3×3阶方阵。用分块矩阵可将单元刚度方程 ij 为

(9-2)改为

e ii e

i e e j ji

其中

ij e

e

jj

e

i

e

j

i

e

ee

je Nj ie Ni

eee e e e e

；；； Si j Sj i i j j

e e e e

j j i j

用分块矩阵形式表示单元刚度矩阵和单元刚度方程的目的是使运算简便，层次分明。

9.3 在整体坐标中的单元刚度矩阵

9.22节介绍的单元刚度矩阵，是建立在局部坐标系上的。采用局部坐标进行分析，是

使结构的各单元刚度矩阵具有简单统一的表达形式。但在实际结构中，各单元的方向往往