2020-2021学年江西省南昌市八一中学、麻丘高级中(10)

第 10 页 共 17 页 对于②，要使()x f x a =为一个“λ-伴随函数”，则0x x a a λλ++=对任意实数x 都成立，则0a λλ+=，此式有解，所以()x f x a =为一个“λ-伴随函数”，故②正确； 对于③，若()f x 为一个“12-伴随函数”，则11()022f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝

⎭对任意实数x 都成立，令0x =，则11(0)022

f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若1,(0)2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭任意一个为0，则函数有零点；若1,(0)2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭

均不为0，则1,(0)2f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭异号，又()f x 图像是连续不断，由零点存在性定理知，()f x 在区间10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭必有零点，所以“

12

-伴随函数”至少有一个零点，故③正确； 对于④，若2()f x x =是一个“λ-伴随函数”,则()2

20x x λλ++=，即对任意实数x ()22120x x λλλ+++=都成立，

令1x =-，则2120λλλ+-+=，即210λλ-+=，此式无解，故2()f x x =不是“λ-伴随函数”，故④错误.

故答案为：②③

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，函数的零点，解题的关键是正确理解()f x 是 “λ-伴随函数”的定义，及函数零点存在性定理，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知集合{2A x

x =<-∣或}6x >，{}12B x m x m =+≤≤∣ （1）若3m =，求A B ，()()R R A B ； （2）若A B B =，求m 值范围.

【答案】（1）{2A B x x ⋃=<-∣或}4x ≥，()(){|24}R R x x A B -≤=<；（2）

{|1m m <或}5m >.

【分析】（1）3m =时，{|46}B x x =≤≤，利用交并补运算即可；

（2）A B B =，可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况分别讨论可求得答案.

【详解】解：（1）3m =时，{|46}B x x =≤≤，{2A x

x =<-∣或}6x >， {2A B x x ⋃=<-∣或}4x ≥，{|26}R x x A =-≤≤，{4R B x x =<∣或}6x >