2020-2021学年江西省南昌市八一中学、麻丘高级中(14)

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（2）分别求出()1f x 的值域A ，()2g x 的值域B ，由题设将问题转化为A B ⊆，利用集合的包含关系求出k 的取值范围. 【详解】

()()243t f x t t x -=+为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，

24310

t t t ⎧+=∴⎨-<⎩，即(41)(1)00t t t -+=⎧⎨>⎩，解得14t =或1t

=-（舍去）

所以幂函数的解析式为()1

4

f x x

-=

14

4x

x

-

=

，0x ∴≥且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞ （2）由（1）知()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，所以当1[1,16)x ∈，

()1144116,1f x --⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

，即()11,12f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令1,12A ⎛⎤

= ⎥⎝⎦；

()2x g x k =-，由指数函数性质知，()g x 单调递增，所以当2(1,5)x ∈，

()()1522,2k g x k --∈，即()()22,32k g x k -∈-，令()2,32B k k =--；

因为对任意的1[1,16)x ∈时，总存在2(1,5)x ∈使得()()12f x g x =，则A B ⊆

结合数轴可知122321k k ⎧-≤⎪⎨⎪->⎩，解得3231k k ⎧

≥⎪⎨⎪<⎩

，即k 的取值范围3,231⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]

,,y g x x c d =∈

（1）若[]1,x a b ∀∈，[]

2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]

2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]

1,x a b ∃∈，[]

2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]

2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．

21．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度