2020-2021学年江西省南昌市八一中学、麻丘高级中(16)

第 16 页 共 17 页 （3）若函数()()727x x f g x +=

与()2742x

h x t t =⋅+-的图象有且只有一个公共点，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2

()2f x x x =-；（2）24m ≤-；（3

）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭. 【分析】（1）用待定系数法由已知得三个方程求得三个系数；

（2）分离参数，求对应函数的最小值即可；

（3）转化为方程只有一整根，然后找等价条件.

【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)0f =可得0c ，所以

2()f x ax bx =+，

因为()22

1(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++是偶函数，所以202a b a

+-=即20a b +=①，又因为21ax bx +=-，即210ax bx ++=只有一个根，所以240b a -=②，由①②可得0b =舍去，或2b =-，可得1a =，所以2()2f x x x =-.

（2）若对任意1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，()23log 0f x m +≤恒成立，只需()()22223log 3log 6log m f x x x ≤-=-+在对任意1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

恒成立， 即求()2223log 6log x x -+在1,84

x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

的最小值即可， 令2log t x =，则[]2,3t ∈-，令()22()36313g t t t t =-+=--+， 所以min (2)24g -=-，所以24m ≤-.

（3）若函数()()72

7x x

f g x +=与()2742x h x t t =⋅+-的图象有且只有一个公共点， 即()2

727227427x x x x t t -⨯+=⋅+-，整理得()2(21)74720x x t t -+⋅-=方程只有

一个正实数根，令70x m =>，则关于m 的方程2

(21)420t m tm -+⋅-=只有一个正实数根，

若210t -=即12t =时，10m =>，所以12

t =；