微分方程与差分方程_详解与例题(12)

这是一阶线性微分方程，代入通解公式，得

f(a) ( x a)dx ( x a)dx

f(x) e edx C C(x a) f(a) .

x a

1

1

令x

b

，得c

f(b) f(a)

b a

，故

f(x)

f(b) f(a)

b a

(x a) f(a)

。

【例7.21】过点

1

,0 且满足关系式y arcsinx 2

1的曲线方程为y ______.

【详解】方程化为y

1arcsinx1

.

设

P

1

Q

arcsinx

.

于是 Pdx 通解

y e

darcsixn

lnarcsxi n

arcsixn

arcsinx

1

e

lnarcsinx

.

x C

dx C .

arcsinx

.

lnarcsinx

由y

111 1

0可定出C ,故曲线方程为y x

2arcsinx 2 2

【例7.22】求微分方程xdy x 2y dx 0的一个解y y x ，使得由曲线

y y x 与直线x 1,x 2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。

【详解】题设方程可化为

2

dydx

2x

y 1.利用求解公式，得通解

y ex

dx

2 dx

exdx C x Cx2.

旋转体体积V C x Cx1

62 5

2

2

2

7 31215

dx C C .

23 5

由V C

C

75627515

C .VC 0.C 0解得由于故为惟一极

2 1245124

75124

x.

2

小值点，也是最小值点，于是得y x