微分方程与差分方程_详解与例题(2)

【详解】 y x 1 y 1

dydx

，

dyy 1

x 1 dx .

12

两边积分得

1

dyy 1

x 1 dx， 即 lny 1

1

x 1 2

c1，

y 1 e

c1

e

2

x 1 2

Ce

2

2

x 1 2

1

，

y Ce

2

x 1 2

1

，C为任意常数。

0

【例7.2】微分方程 xy【详解】分离变量得

xx

2

xdx xy ydy 0

2

，当x时，y

x

1的特解为____________。

xy

2

1dx yx

2

1dy 0

，

x

2

dx

y

y

2

dy 0

.

1

2

1

积分得

lnx

2

dx

1

2

yy

2

1

dy C1

，

12

lnx

2

1

12

lny

1 C1，

1y

1 2C1，即 x2 1 y2 1 e2C1 C.

令x 0,y 1，则 2 C

， ∴所求特解为 x2

1y

2

1 2

.

【例7.3】若连续函数f x 满足关系式f x 0

f

2x

t

f dt ln2，则 2

x 等于（ ）

x

2x

（A）eln2.（B）e

ln2.（C）e

x

ln2.（D）e

2x

ln2.

【详解】对所给关系式两边关于x求导，得f x 2f x ，且有初始条件f 0 ln2. 于是，

f x 2f

x ，

ln|f

dff

x

x

2dx，积分得

x |

2x ln|C|，故 f

2x

x

Ce

2x

.

令x 0,得C ln2.故f x eln2.应选（B）。

1

,其上任一点 且2

x过点 0, 【例7.4】已知曲线y f

x, y处的切线斜率为

xln1 x

2

,则f x _______.