微分方程与差分方程_详解与例题(8)

adx adxdx C e ax

y e f(x)e

f(x)e

ax

dx C

Ce

ax

e

ax

f(x)e

ax

dx

0

x

由于在本题中未给出函数

f(x)

的具体表达式，在上式中想利用初始条件y

ax

x 0

来确定常数C

at

很困难。而通解中的式子 通解为y令x

0

Ce

ax

f(x)edx

实为

f(x)e

ax

的一个原函数，因此改写为

f(t)edt

，于是

e

ax

0

x

f(t)e

at

dt

。 即c

0

，由y 0

，得0及x

C 0

.故所求的解是y

e

ax

0

x

f(t)e

at

dt

。

（2）由题设当x

0

f(x) k 0

知，

dt

时，

e

y e

x

ax

0

x

f(t)e

at

e

x

ax

0

x

f(t)eka

at

dt

ax

ax

f(t)e

at

dt ke

ax

e

at

dt e

ax

e

1

ka

1 e

ax

【例7.13】设有微分方程y 2y

(x)

2,若x 1 0,若x 1

(x)

，其中

y(x)

试求在 , 内的连续函数y，使之在 ,1 和 1, 内都满足所给方

程，且满足条件y 0 0。

【详解】线性方程y 2y (x)中的非齐次项 (x)有间断点x 1。在点x 1处 (x)无定义，且x 1为 (x)的第一类间断点中的跳跃间断点。当x 1及x 1时均可求出方程的解y y(x)，二者相等。又因为y

y(x)

是连续函数，故

lim

x 1 0

y(x) lim

x 1 0

y(x) y(1)

，从而可以确定y(x)中的任

意常数，得到解y(x)。 ∵当x 1时方程为y 2y

2

，其通解是

2dx 2dx 2x

y e 2e dx c1 e

2e

2x

dx c1 c1e

2x

1。

将初始条件y 0

c1 1

代入通解中，得到

e

2x

∴得特解y

，

e

1 x 1 .又 当x

1

时方程为y 2y

0

，

即

dydx

2y

dyy

2x

2dx

，两端积分得 lny 2x c2， .因为y

y(x)

2x

即y

e

c2

Ce

2x

是连续函数，所以有

1 e

2

lim

x 1 0

e

2x

1 limCe

x 1 0

， C

1 e

.

故当x

1

时，特解为y

2

e

2x

。