微分方程与差分方程_详解与例题(15)

P y

c1e

y

4 y 1 。

，即y

4 y 1

又

y

x 0

2

，y

x 0

2

， c1

0

dy 2y 1

，分离变量，得

dy 2dx

.

dx

y 1

两边积分得y 1 x C

， y x c 2

1

，

代入y

，得c 1. y x 1 2

1 x

2

x 0

2

2x 2

.

【例7.27】函数f x 在[0, )上可导,f 0 1.且满足等式

f x f

x

1

x

x 1 0

f t dt 0,

（1）求导数f x ；

（2）证明：当x 0时,成立不等式:e

x

f

x 1.

【详解】（1）原方程两边乘x 1后再求导，得

x 1 f x x 2 f x .

设f (x) p,则f x

dpdx

.方程化为 x 1

dpdx

x 2 p，

，故 dp

x 2p

x 1

x，f x p

Ce

x

x 1

.

由f 0 1及f 0 f 0 0，知f 0 1，从而C 1，故f x

e

x

x 1

.

x

（2）对f x

e

两端积分，得

x 1

xe

t

t

f

x

f

0 0

t 1

t，即

xe

t 1

t 1 f

x .

当x 0时,有0 xe t

x

0t 1

dt

e tdt 1 e x

0.

于是 0 1 f

x 1 e x

，所以 e x

f

x 1.