微分方程与差分方程_详解与例题(13)

【考点八十六】可降阶的高阶微分方程：

1.大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：

y

(n)

f(x)

；

2．方程y(n)

y f(x,y )y

（缺y）；

。 f(y,y )（缺x）

：直接求n次积分，即可求解。

f(x)

3．方程y f(x,y )：这类方程的特点是不显含未知函数y。

令p y ，则化为关于P的一阶微分方程u f(x,p)，然后再用解一阶微分方程的解法解之。

4．方程y f(y,y )：这类方程的特点是不显含自变量x。

令P P(y) y ，则

y

d

2

y

2

dx

dpdydpdpd dy

P

dx dx dxdydxdy

.

因而原方程化为关于P的一阶微分方程：P

2

1 y 2yy ,

7.23】求初值问题 的解。

y(1) 1,y(1) 1

dpdy

f y,p .

【例

【详解】 方程1

y

2

2yy 不显含x，

dpdx

dpdy

dydx

dpdy

令p y ，y

d

2

y

2

dy dx

p

dx

。

代入原方程得1

p

2

2yp

dpdy

，即

dpdy

1 p2yp

2

。分离变量，得

2pdp1 p

2

dyy

。

两边积分，得ln p由初始条件：y

P

2y 1

2

lny C1， 1 p2 ec1y Cy

1时，p 1，故c 2， P2 2y 1 .

，p

2y 1

（不合题意舍去）.

.两边积分得

2y 1 x C1，

dydx

2y 1

，即

dy2y 1

dx