微分方程与差分方程_详解与例题(6)

【详解】将微分方程(3x 2xy

dydx

y

2

22

y)d x(x

2

2x)y d进y0行恒等变形，化为

2xy 3xx

2

2

. 设y xu，有

2xy

x

dudx

3u

2

u 1

2u 1

2

，则

u

3

2u 1

2

du

2

3

3x

dx.

u 1

2

积分得 u u 1 Cx

dydx

,即xy xy x C.

【考点八十五】1. 形如 p(x)y Q(x) 0的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其

p(x)dx

e Q(x)e

通解公式为：y

p(x)dx

c

.

【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分

p(x)dx和

Q(x)e

p(x)dx

dx

，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c。

2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。

3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程y p(x)y Q(x)等价于

e p

(x)dx

[y p(x)y ]

p(x)dx

pe

xd(x)

Q(即x)[e.

dx c,

p(x)dx

y] e

p(x)dx

Q(x).

两边积分得e

y

Q(x)e

p(x)dx

即

y e

p(x)dx

[ Q(x)e

p(x)dx

dx c].

【例7.10】微分方程xy 2y xlnx满足y(1)

19

的解为.

【分析】直接套用一阶线性微分方程y P(x)y Q(x)的通解公式：

P(x)dx

P(x)dx

[ Q(x)edx C]， y e

再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为 y

2x

y lnx，

2x

于是通解为 y e

13

2x

dxdx

[ lnx e

dx C]

1x

2

[ xlnxdx C]

2

=xlnx

19

x C

1x

2

，