微分方程与差分方程_详解与例题(14)

再由y(1) 1，得c1

2

.∴所求特解为

2y 1 2 x

，即y

12

x

2

4x 5

.

【例7.24】微分方程xy 3y 0的通解为__________。 【详解】设y

dpp

3dxx

P

，则y

dpdx

.方程化为x

dpdx

3p 0

。分离变量，得

。两端积分，得lnp 3lnx c1

c1

P e

c2

1x

3

cx

3

，即

c3x

2

dydx

cx

3

， dy

cx

3

dx

. .

轴上的截距等于

x0

1

x

积分得y

1x

2

c2 c2

. 因此应填y

c3x

2

c2

【例7.25】设对任意x求

f(x)

0

，曲线y f(x)上点 x,f(x) 处的切线在y

f(t)dt

，

的一般表达式。

f(x)在点 x,f(x) 处的切线为Y

【详解】曲线y

令x

0

f(x) f (x) X x 。

，得切线在y轴上的截距为Y

f(x) xf (x)

1x

f(x) xf (x)

(x) x

2

。

由已知

0

x

f(t)dt

，即xf

f (x)

0

x

f(t)dt

。

两端对x求导，得 令P

f (x)

xf (x) f (x) 0dpdx

。

P 0

，则

dpp

f (x)

。代入得x

P

C1x

dpdx

，

c1x

分离变量，得

dxx

。 即

df(x)dx

。

积分得f(x) c1lnx C2。 【例7.26】求微分方程y 【详解】设

1dp2

dy

2

12

(y )

2

2y

满足条件y

dpdy

dydx

p

x 0

2

，y

x 0

2

的特解。

Pdpdy

12p

2

p y

，于是

dpdy

y

dpdx

dpdy

. 代入原方程，得

2y

，即

12

2

p

2

2y

.

p

2

4y

。

这是关于p2和y的一阶线性方程，其通解为

p

2

1dy 1dy y

e 4ye dy C1 e

4ye

y

dy C1

p

2

e

y

4ye

y

4e

y

C1 c1e

y

4 y 1 .

解出P，则P

c1e

y

4 y 1 或P

c1e

y

4 y 1 （不合题意舍去）