微分方程与差分方程_详解与例题(5)

代入u

yx

，得

yx

1

yx

22

Cx

即y

0

2

x

2

y

2

cx

2

，由已知y

1

2

x 1

0

，代入得

0

2

C 1 ， C

y

y

2

∴所求初值问题的解为

x x

2

，化简得y

12

x

2

1

.

【例7.8】设函数f(x)在[1, )上连续。若由曲线y f(x)，直线x 1,x t(t 1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 V(t)

y f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y

3

[t

2

f(t) f(1)].试求

x 2

29

的解。

【详解】由旋转体体积计算公式得V(t)

t

1

f

2

(x)dx,于是，依题意得

t

1

f

2

(x)dx

2

3

[t

2

f(t) f(1)] .

2

两边对t求导得 3f(t) 2tf(t) tf'(t).

dydx

yx

yx

将上式改写为 xy' 3y 2xy，即

22

3()

2

2 .

令u

yx

，则有 x

dudx

3u(u 1).

当u 0,u 1时，由

duu(u 1)yx

3dxx

. 两边积分得

u 1u

Cx

3

.

从而方程

dydx

3(

yx

)

2

2 的通解为y x Cxy(C为任意常数）。

3

由已知条件，求得C 1,从而所求的解为

x1 x

3

3

y x xy或y

(x 1).

【例7.9】求微分方程(3x 2xy y)dx (x 2xy)dy 0的通解.

222