微分方程与差分方程_详解与例题(11)

y e

p(x)dx

Q(x)e

p(x)dx

dx c

得新公式：

dxdy

P(y) x Q(y)，通解为

x e

p(y)dy

Q(y)e

p(y)dy

dy c

dyylny

而本题：P(y)

1ylny

1y

,Q(y)

1y

,

P(y)dy

lnlny，

Q(y)e

P(y)dy

dy

e

lnlny

dy

1y

lnydy

12

ln

2

y,

∴通解为x e

lnlny

1 12 12

lny C lny c， 2 lny 2

即2xlny lny C 【例7.19】设y(x)连续，求解方程 【详解】因为原方程中x2， 0转化为微分方程：

y(x)

12

y (x) 2x

x

x

2

y(s)dx

12

y(x) x

2

.

y(s)dx

均可导，故y(x)可导。对方程两边同时求导，将积分方程

，即y (x) 2y(x)

4x

.

根据一阶线性微分方程通解公式，得

2dx 2dxdx c e 2x

y(x) e 4xe

4xe

0

2x

dx c 2x 1 Ce

2x

又

2

y(x) 2x

0

x

y(s)ds

, ∴当x

1

时，y 0

2x

.

代入得

0 1 C

C.

y(x) e

2x 1

【例7.20】设函数在区间 a,b 上连续，且满足方程且x1,x2

a,b ，求f(x)

1x2 x1

x1

x2

f(x)dx

12

f(x1) f(x2) ，x1 x2

，

。

1x a

【详解】当x a,b 时，由已知条件 即

x

a

x

f(t)dt

12

f(a) f(x) ，

a

f(t)dt

12

x a2

f(a)

f(x)

f(x) . x a2

两边对x求导得

即

f (x)

1x a

f(x)

f(a)x a

f(x)

f(a) f (x), .