微分方程与差分方程_详解与例题(3)

【详解】y f x 满足

y

dydx

xln1 x

2

,y|x 0

1

12

.

1

xln

1 x2 dx 2 ln 1 x2 d x2 2 1 x2 ln 1 x2 2x2 C

12

代入上式,得C

1

12.

故f

1

将

x 0,y

x

22

1 x ln 1 x 1 . 2

0

【例7.5】一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k。

假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

78

，问雪堆全部融化需要多少小时？

43

3

2

【详解】半径为r的球体体积为 r，表面积为4 r，而雪堆为半球体状，故设雪堆在t时刻的底面半径为r，于是雪堆在t时刻的体积V 与侧面积S均为时间t的函数。

由题意，有即

drdt

dvdt

kS.

23

23

r，侧面积S 2 r。其中体积V，半径r

32

3r

2

drdt

k 2 r

2

。

k,dr kdt，

0

dr k dt， r kt c

又 t而V

k

时，r

18V

t 0

r0, r0 C，即r kt r0 .

23

t 3

t 0

，即

16

3k r0

3

123

r083

.

16

r0，r

r0t r0

。

当雪堆全部融化时，r

0,V 0

令0

16

r0t r0

，得t

6

（小时）。

【例7.6】在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为

N，在t 0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)（将x(t)视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k 0，求x(t)。

【详解】首先要根据题中所给条件，建立x(t)的微分方程。由于题中条件很明确，即：x(t)的变化率

dxdt

与x(t) N x(t) 成正比，容易得出x(t)的微分方程，再求出特解即得x(t)。

dxx N x

dx

kx N x

由已知得 dt

xt 0 x0

, 分离变量，得

kdt

.