微分方程与差分方程_详解与例题(4)

积分得 即

dxx N x

kdt

dx x x

1N

kt c1

N

ln

x

ln

1

1

dx

N x N

1

x

1

dx

x N

1

x

1N

xx N

1N

xN x

ln

N x

Nce1 ce

Nkt

Nkt Nc1 ,

xN x

e

NC1

e

Ntk

Ce

x0N x0

Nkt

.

x

Nkt

, 又

x

t 0

x0

∴代入得

C

，

故

x(t)

Nx0e

Nkt

Nkt

。

N x0 x0e

【考点八十四】形如

u ux,

du

dy

y dx x

的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令u

dudx

u yx

yx

，则

dydx

u x

dxx

dudx

，代入得

u x

.分离变量，得

du

u u

dxx

。两端积分，得

u u

【例

，求出积分后，将u换成，即得齐次方程的通解。

22

y x y dx xdy 0 x 0

7.7】求初值问题 的解。

yx 1 0

x

2

【详解】 y

y

2

dx xdy 0

x

yx

0

2

dydx

x

y

x

故此方程为齐次方程，其解法是固定的。 令u

du1 u

2

yx

,y xu,

dydx

u x

dudx

，故u

x

dudx

2

u 1 u

2

dxx

，积分得 lnu 1 u

lnx c

1

u u

2

e

lnx C1

e

c1

x Cx