微分方程与差分方程_详解与例题(9)

补充

y y(x)

在x

1

处的函数值

y(1) e

2

1

，则得到在 , 上的连续函数，即所求解为

2x 1,若x 1 e

y x

22x

e,若x 1 1 e

.

【例7.14】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在( , )内满足以下条件：f (x) g(x)，

g (x) f(x)，且f(0)=0, f(x) g(x) 2e.

x

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.

【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由

22

F (x) f (x)g(x) f(x)g (x)=g(x) f(x)

=[f(x) g(x)] 2f(x)g(x)=(2e)-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为 F (x) 2F(x) 4e

2dx2dx2x

(2) F(x) e [ 4e e dx C]

2x

2x2

.

=e

2x

[ 4e

4x

dx C]=e

2x

Ce

2x

.

2x

将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是 F(x) e e

2x

.

【例7.15】f (u , v)具有连续偏导数，且满足fu (u,v) fv (u,v) uv. 求y(x) e

2x

f(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解.

【分析】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程。先求y ，利用已知关系

fu (u,v) fv (u,v) uv，可得到关于y的一阶微分方程.

【详解】因为

y 2e

2x

f(x,x) e

2x

2x2 2x

fu (x,x) efv (x,x) 2y xe，

所以，所求的一阶微分方程为y 2y xe

2 2x

.

13 2dx2 2x 2dx 2x

( xeedx C) (x C)e解得 y e (C为任意常数).

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