微分方程与差分方程_详解与例题(16)

【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:

1．标准形式：y py qy 0，p,q均为常数。

2．通解公式：①特征方程为r2

pr q 0

；

②若特征方程有互异实根r1 ry

cr2

，则通解为1

1e

cr2

2e

；

③若特征方程有相等实根r1 rr

，则通解为y

c crx

2 12x e；

④若特征根为共轭复根r i

（ , 为常数， 0

），

则通解为y

e

x

c1cos x c2sin x

【例7.28】求下列微分方程的特解：

2y 3y 26y ，当x 0

时，y

0

，y 1。

【详解】对应的特征方程为

2r2

26r 3 0

，有二重特征实根

r66x

1 r2

2

. 所以微分方程的通解为y

c1 c2x e

rx

c1 c2x e

2

。

6求导得

x

y 66

2

c1 c2 c2x 2e

.

2

由已知，当x

0

时，y 0,y 1。

∴代入得，

c1 0 c 即 1 0 ，

1 6

c

21 c2 c2 1

6

故所求特解为x

y

xe

2

。

【例7.29】设二阶线性常系数齐次微分方程

y by y 0的每一个解y(x)都有在区间(0,

)

上有界，则实数b（ ）。

（A） 0, （B） ,0 （C） ,4 （D） , 解：应选（A）。 对应的特征方程为

r

2

br 1 0

r

b

b2

则 4

2

（1）当b 2

时，‘

特征根r1

rb2

2

，其通解为

的取值范围是