微分方程与差分方程_详解与例题(17)

y c1 c2x e

rx

c1 c2x e

x

。

其中c12

lim

x

c2 0 c2x e

x

2

，而此时

c1

∴在区间(0, )内， 当b

2

，通解y c1

2

c2x e

x

无界。

不合题意，故b（2）当b可以等于2。

（3）当b2

r1

b

2 b

b2

2

。

r2

b2

1，其通解为y c1 c2x e

x

2

时，特征根r1

，在(0, )内有界。故b

4 0b

2

时，特征根

b

b2b

b2

2

4

2

4

b 42

2

r2

4

2

b

4

其通解为y∴当b2

b

b2

2

b 42

b

c1e c2e

4 0 4

时，要想使通解y在区间(0, )上有界，只需要 且

b

b2

2

0

4

0

成立。

即b

2

4 0

2

（4）当b2

r

b

b2

x

时，特征根为共轭复根，

b

4 bi2

2

4

则其通解为

y e

c1

b

cos x c2sin x

e

2

x

ccos 1

b

2

4

2

c2sin

b

2

4

2

要想使通解y在区间(0, )上有界， 只需要

b2 0

，即b

0

且b

2

，

0 b 2

综上所述，当且仅当b 0时，方程

y by y 0的每一个解y(x)都在区间(0, )上有界，故选（A）。