微分方程与差分方程_详解与例题(7)

由y(1)

19

得C=0，故所求解为y

13

xlnx

19

x.

【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也可如下求解：原方程可化为

xy 2xy xlnx，即 [xy] xlnx，两边积分得 xy

22

2

2

2

xlnxdx

2

13

xlnx

3

19

x C，

3

再代入初始条件即可得所求解为y

微分方程【例7.11】设y e是

x

13

xlnx

19

x.

xy yp)x( x的一个解

,求此微分方程满足条件y

x ln2

0

的特解。

【详解】先求p(x), y e是方程xy p(x)y x的解， 代入方程得x (e) p(x)e x,解出p(x)

xe

x

x

x

x

x.代入原方程得

-x

xy (xe

-x

x)y x，即 y (e 1)y 1.

p(x)y Q(x)的通解公式为

这是一阶线性非齐次微分方程，而y

-y e

p(x)dx

：

Q(x)e

p(x)dx

dx C

对应地，P(x)

y e

e

e

x

1,Q(x) 1

x

x 1 dx

e

e

x

e

1 e

1dx

x e x e x e x dx c dx c e

e

x e x

d e

x

C

e

1

x e x e e x

C

ex Ce

12

x e x

又由y

x ln2

0，得0 2 2e2 C，即c e

(x e

x

，

y e

x

12

)

e

f(x)

。

【例7.12】设

y ay f(x)

yx 0 0

为连续函数，（1）求初值问题

f(x) k

的解y(x)，其中a是正常数；（2）若

ka

（k为常数）。

证明：当x

0

时，有

y(x)

1 e

ax

【详解】原方程的通解为