计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出(12)

x1 121 22

15.给定线性方程组 11 1 x2 = 0 .

2 21x310

1)写出雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式；2)证明雅可比迭代法收敛而高斯赛德尔迭代法发散；3)给x(0)=(0,0,0)T,用迭代法求出该方程组的解，精确到

www.kh

daw.

co

后

m

答：1)雅可比迭代格式

(k+1)(k)(k)

= 12+2x2 2x3 x1

(k+1)(k)(k)x2=x1+x3 (k+1)(k)(k)

x3=10+2x1+2x2

高斯-赛德尔迭代格式

展开得到λ3=0,3个根都为零，谱半径为零，因而雅可比迭代格式收敛。高斯-赛德尔迭代矩阵的特征方程为

w.

√√

展开得到λ(λ2+4λ 4)=0,三个根为λ1=0,λ2= 2+2λ3= 2 2所以

√

ρ=2+2>1,

kh

da

11

课

答

2)雅可比迭代矩阵的特征方程为

案

(k+1)(k)(k)

= 12+2x2 2x3 x1

(k+1)(k+1)(k)x2=x1+x3 (k+1)(k+1)(k+1)

x3=10+2x1+2x2

λ 22

1λ 1 =0, 2 2λ

λ 22

λ 1 =0, λ

2λ 2λλ

因而高斯-赛德尔迭代格式发散。

3)用雅可比迭代格式，取初值x(0)=(0,0,0)T,求得解为

x 1=12,x2= 46,x3= 58

.

ww

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w.

kh

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aw

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om

||x(k+1) x(k)||∞≤

1

×10 3.2

网