计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出(16)

猜想

codaw.

m

f[x0,x1,···,xk]=

1

k i=0

,k=1,2,···,n.

(a xi)

下面用数学归纳法证明。当k=1时，结论成立，假设结论对k=l成立，即有

f[x0,x1,···,xl]=

1

l i=0

,

f[x1,x2,···,xl,xl+1]=

1

l +1i=1

,

ww

w.kh

(a xi)(a xi)

则有

f[x0,x1,···,xl,xl+1]=

f[x0,x1,···,xl] f[x1,x2,···,xl,xl+1]

x0 x1

111=×[l l+1]x0 xl+1

(a xi)(a xi)

1

i=0

i=1

l +1i=0

=

(a xi)

即结论对l+1成立。f(x)的n次牛顿插值多项式为

n k=0

答

da

f[x0,x1,···,xn]

i=0

后

Nn(x)=

课

9.给定数据表

kh

x

0.125

0.250

f(x)

0.79618

0.77334

f0

t

注:解此题的关键是从f[x0],f[x0,x1],f[x0,x1,x2]的表达式猜想出f[x0,x1,···,xk]，然后用归纳法进行严格的证明，有了各阶差商的表达式，很容易写出牛顿插值多项式。

0.375

w.

0.74371

试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)。

ww

N0(x0+th)=f0+

4

+ 1)+ 1)(t 2)

f(0.1581)≈N5(0.1581)=N5(0.125+0.2648h)=0.790294822,f(0.636)≈N5(0.636)=N5(0.125+4.088h)=0.651804826.

15

ww

w.

khd

aw

+ f0t(t 1)(t 2)(t 3)+

5f0

t(t

1)(t 2)(t 3)(t 4).

.c

2f0

t(t 3f0

t(t

om

解：等距节点x0=0.125,h=0.125,xi=x0+ih,0≤i≤5.计算差分表，令x=x0+th,则牛顿插值多项式为

,

k 1 i=0k i=0

k 1

案

网

(x xi)=

n k=0

(x xi)

.

(a xi)

0.5000.70413

0.6250.65632

0.7500.60228