计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出(8)

收敛性分析:m=1时，牛顿迭代序列为常序列a，显然收敛。

√f(ε)

m≥2时,对任意正数ε(0<εn),令M(ε)= ,则

www.kh

考虑区间[ε,M(ε)],验证牛顿法大范围收敛定理中的4个条件。

(2).当x∈[ε,M]时，f (x)=mxm 1>0.

f(ε)(3).当x∈[ε,M]时，f (x)=m(m 1)xm 2>0.(4).ε

=M,

f(M)f(M) f(x )f (ξ)M =M =M (M x ),ξ∈(x ,M)f(M)f(M)f(M)

M

综上，牛顿法大范围收敛的4个条件均满足，所以对任意x0∈[ε,M(ε)],牛顿法均收敛。

11.用割线法求方程x3 2x 5=0在x0=2附近的根，取x0=2,x1=2.2,计算到4位有效数字。

kh

答：记f(x)=x3 2x 5,则f(x)=(x2 2)x 5,割线法公式为

xk+1=xk

迭代5次，x ≈2.095

。

f(xk)

(xk xk 1)=xk

f(xk) f(xk 1)

f(xk)

f(xk) f(xk 1)kk 1

课

后

由ε的任意性，对任意x0∈(0,+∞)

，牛顿法均收敛。

da

7

答

案

f(M)

≥M (M x )=x >ε.f(M)

网

由f (x)是严格单调増函数，有0<f (ξ)<f (M),于是

w.

ww

ww

w.

kh

d

aw

.c

om

,k=1,2,···

(1).f(ε)=εm a<0,f(M)Mm a>(x )m a≥a a=0,所以f(ε)·f(M)<0.

daw.

M(ε)=(1

co

√

因而5≈2.981。

m

√a11

)ε+ε1 m=(ε+···+ε+aε1 m)>m=x .mmm