2011年高考数学试题分类汇编 数列(16)

*

c c a a,n N2n 12n 1（Ⅱ）设n，证明：n是等比数列；

Sk7*

(n N) *

S a2 a4 a2k,k N,证明：k 1ak6（III）设k．

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综

合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

4n

3 ( 1)n

bn ,n N*,

2 （I）解：由 1,n为奇数

bn

2,n为偶数 可得

又

bnan an 1 bn 1an 2 0,

当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3 3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4 5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4 4.

*

n N, （II）证明：对任意

a2n 1 a2n 2a2n 1 0, 2a2n a2n 1 a2n 2 0,

① ②

a2n 1 a2n 2 2a2n 3 0, ③

②—③，得

a2n a2n 3. ④

将④代入①，可得

a2n 1 a2n 3 (a2n 1 a2n 1)

*

c c(n N) n 1n即

又

c1 a1 a3 1,故cn 0,

cn 1

1,所以{cn}c因此n是等比数列.

k

a a ( 1)2k 1（III）证明：由（II）可得2k 1， *

于是，对任意k N且k 2，有