导数习题分类精选 2(10)

条件得c [ 2,0]进而求解，有较强的技巧性。 解析 由题意有f x2 3x22 6bx2 3c 0．①又f x2 x32 3bx22 3cx2．

．．②（消元） 消去b可得

f x 13c1

2 2x32 2x2．又 x2 [1,2]，且c [ 2,0] 10 f(x2) 2

21．[浙江省富阳新中2008（上）高三期中考试数学（理科）试卷第22题] (本小题满分15分)

设函数

f(x) x2 bln(x 1)，其中b 0；

（Ⅰ）若b 12，求f(x)在[1,3]的最小值；

（Ⅱ）如果

f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小的正整数N，使得当n N时，不等式ln

n 1nn 1

n

3恒成立. 21．[浙江省富阳新中2008（上）高三期中考试数学（理科）试卷第22题]解：（Ⅰ）由题意知，

f(x)的定义域为( 1, )，

b 12时，由

f/

(x) 2x 12x 1 2x2 2x 12

x 1

0，得x 2（x 3舍去），

当x [1,2)时，

f/(x) 0，当x (2,3]时，f/(x) 0，

所以当x [1,2)时，f(x)单调递减；当x (2,3]时，f(x)单调递增，

所以

f(x)min f(2) 4 12ln3 ……………………………5分

（Ⅱ）由题意

f/

(x) 2x b2x2 2x b

x 1 x 1

0在( 1, )有两个不等实根，

即2x

2

2x b 0在( 1, )有两个不等实根，

设g(x) 2x2

2x b，则 4 8b 01

( 1) 0

，解之得0 b ；…………10分

g2（Ⅲ）当b=-1时,函数f x x2 ln(x 1)，

令函数h

x x3 f(x) x3 x2 ln(x 1)

则h/

x 3x2

2x

13x3 (x 1x 1 )2

x 1

， 当x [0, )时，h

/

x 0

（换元，令1

n

x) 所以函数h

x 在[0, )上单调递增，又h(0) 0, x (0, )时，恒有h x h(0) 0