导数习题分类精选 2(16)

故存在a ( , 已知函数

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]符合条件。 4

f(x) ln(ex a)(a 0).

y f 1(x)及f(x)的导数f (x);

f 1(x)| ln(f (x)) 0成立，求实数m的取值范围.

（1）求函数y= f(x)的反函数

（2）假设对任意x [ln(3a),ln(4a)],不等式|m 解：（1） e

x

0, y lna, y f 1 x lnex a, x lna ；

ex1y x 1 x

e ae a

（2）x [ln(3a),ln(4a)],不等式|m

f 1(x)| ln(f (x)) 0

exexx

lne a lnx m lne a lnx

e ae a

f

1

x lnf x m

f

1

x lnf x

x

exex ae2x a2exex ae2x a2m

lnx m ln e xx

e aee aext t a t2 a2

,v t ,t ex,t 3a,4a 令：u t

t at

t2 a2t2 2at a2

v t 0,t 3a,4a ,u t 0 22

t(t a)

128

a,v(t)的最小值为v(3a) a,而不等式②53

128128m

a em a，于是得 ln(a) m ln(a). 成立当且仅当u(4a) e v(3a),即5353

所以u(t),v(t)都是增函数.因此当t [3a,4a]时，u(t)的最大值为u(4a)

解法二：由|m

f 1(x)| ln(f (x)) 0得

ln(ex a) ln(ex a) x m ln(ex a) ln(ex a) x.

设 (x)

ln(ex a) ln(ex a) x, (x) ln(ex a) ln(ex a) x,

3a),ln(4a)]恒成立等价于 (x) m (x). ③…7分 于是原不等式对于x [ln(

exexexex

x 1, (x) x x 1，注意到 由 (x) x

e ae ae ae a

0 ex a ex ex a,故有 (x) 0, (x) 0，从而可 (x)与 (x)均在